Würfelsystem und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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    • Würfelsystem und Wahrscheinlichkeitsrechnung

      Ich hab mir ein Würfelsystem überlegt, das, wie die meisten, auf Eigenschaftswerten und Erschwernissen basiert.
      Besonders dabei ist, dass Eigenschaftswerte theoretisch beliebig steigen können und sich damit die Wahrscheinlichkeit eines Erfolges asymptotisch 100% annähert. Außerdem erlaubt diese Würfelmethode, zwei verschiedene Ereignisse (wie zum Beispiel "Erfolg in der Aktion" und "Erfolg im Lernen") mit einem Wurf abzuhandeln.
      Ich wollte das Ganze mir mal Stochastisch ansehen, hänge aber dabei fest, Erschwernisse mit einzurechnen und brauche Hilfe.

      Der Ablauf einer Probe ohne Erschwernis
      Eine Probe wird grundsätzlich auf einen Eigenschaftswert abgelegt. Für jeden Punkt in der entsprechenden Eigenschaft wird ein Würfel geworfen, wenn also auf Stärke gewürfelt wird und der entsprechende Charakter eine Stärke von 5 hat, werden 5 Würfel geworfen.
      Nun wird der höchste Würfel als das Ergebnis genommen, das wie auch immer nun als Erfolg oder Misserfolg gewertet werden kann. In Hochhäuser muss dieser Wert größer als die aktuelle Verwundung sein, in einem TableTop-Spiel, das ich gerade bastel, wird zum Beispiel bei einem Geschwindigkeitswurf der oberste Würfel direkt als die zurückgelegte Entfernung interpretiert.

      Es zwingt natürlich nichts dazu, unbedingt das größte Ergebnis als signifikant zu verwenden – wenn niedrige Zahlen vorteilhaft sein sollen, wird halt der niedrigste Würfel verwendet. Auf diese Weise lassen sich eben auch verschiedene Arten von Proben kombinieren.
      In Hochhäuser muss der niedrigste Würfel eine 4 zeigen, damit ein Lernerfolg vorliegt.

      Erschwernis
      Erschwernis wird erreicht indem so viele Würfel wie als Erschwernis angegeben zum Würfelpool hinzugefügt werden und dann nach dem Wurf entsprechend wieder entfernt.
      Also, wenn die Erschwernis 3 ist und die Stärke 5, würfelt der Spieler 8 Würfel. Er entfernt dann die 3 höchsten Würfel bevor der übrige höchste Würfel dann das Ergebnis anzeigt, bzw. die 3 niedrigsten, wenn nach dem niedrigsten Würfel gefragt ist.

      Wahrscheinlichkeiten ohne Erschwernis
      Das ist erstaunlich einfach zu ermitteln gewesen.
      Man stelle sich vor man macht eine Tabelle für alle möglichen Ergebnisse. Für einen einzigen Würfel mit s Seiten hat man halt eine Spalte der Länge s, für zwei Würfel hat die Tabelle Einträge, für 3 Würfel wären es , u.s.w. Mehr oder weniger offensichtlich hat man also für n Würfel eine Tabelle der Größe sn.
      Viel wichtiger: Die Tabelle selbst ist sozusagen ein n-dimensionaler Würfel mit Seitenlänge s.
      Um nun zu ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmter Wert erreicht wird, kann man alle Zellen markieren, die den entsprechenden Wert als Ergebnis haben. Hier zwei Beispiele:
      1 Würfel mit 6 Seiten, mit der markierten 4:

      Quellcode

      1. 1 2 3 <4> 5 6

      2 Würfel mit 6 Seiten. Die Einträge zeigen den höchsten gewürfelten Würfel, die 4-en sind markiert:

      Quellcode

      1. 1 2 3 4 5 6
      2. 1 1 2 3 <4> 5 6
      3. 2 2 2 3 <4> 5 6
      4. 3 3 3 3 <4> 5 6
      5. 4 <4> <4> <4> <4> 5 6
      6. 5 5 5 5 5 5 6
      7. 6 6 6 6 6 6 6

      Da ist schon eine Art Muster zu erkennen – mit 3 Würfeln hätte man in der Tabelle so etwas wie eine "Oberfläche" (wenn auch nicht ganz).
      Der markierte Bereich für das Ergebnis e hat eine Größe von en-(e-1)n. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis bei n Würfeln mit s Seiten:

      (en-(e-1)n)/sn


      Die entsprechende Wahrscheinlichkeit mindestens einen gewissen Wert zu erreichen ist:

      (sn-(e-1)n)/sn = 1-(e-1)n/sn


      Für den nierdigsten Würfel sieht das Ganze ähnlich aus, nur dass hier an jeder Stelle an der in den Formeln e steht stattdessen (s+1-e) eingesetzt werden muss.

      Wahrscheinlichkeiten mit Erschwernis
      Hier wird es schon komplizierter, weil die Form des markierten Bereiches bei weitem nicht so einfach ist wie ohne Erschwernis. Und hier hänge ich auch fest.
      Ein Problem der Visualisierung an dieser Stelle ist es, dass im Grunde nur der Fall für Eigenschaftswert 1 und Erschwernis 1 auf Papier aufzuzeichnen ist. Also wird das so nichts.

      Die Erschwernis sei h. Betrachten wir die Würfel als unabhängige Ereignisse ei (mit i die Indizes der Würfel).
      Dann muss gelten: Die Menge der Indizes I ist zu partitionieren in 2 Mengen Il und Ih, wobei |Ih|=h und für alle Elemente ih aus Ih und all Elemente il aus Il gilt, dass ih>=il. Außerdem muss es ein il aus Il geben sodass eil=e.

      Wie lässt sich das in Stochastik übersetzen? :faint:
      Weltraumschlangen! :fluecht:
    • Okay, ich habe noch woanders nachgefragt und wurde hierhin verlinkt:
      Order Statistic
      Sieht so aus als wäre das Problem schon genereller gelöst worden. Ich verstehe zwar von dem was da steht so gut wie nichts, aber ich verstehe, dass die Formeln in diesem Abschnitt einsetzbar sind, um die Wahrscheinlichkeiten für konkrete Ergebnisse mit Erschwernis zu berechnen.

      Die andere Diskussion findet hier statt. Besonders interessant ist dabei dieser Kommentar, weil ich hier darauf hingewiesen werde, dass bei binärem Erfolg (geschafft oder nicht geschafft ohne Abstufungen) das ganze so betrachtet werden kann, dass man einfach nur einen Würfel mehr braucht als von der Erschwernis angegeben, der eine günstige Augenzahl braucht.
      Simpler ausgedrückt: Wenn der höchste verbleibende Würfel eine 4 oder mehr zeigen muss bei einer Erschwernis von 2, dann ist das genau dann der Fall, wenn 3 oder mehr Würfel mindestens eine 4 zeigen.
      Ich bin wirklich extrem aus der Übung, weswegen ich mir überhaupt nicht sicher bin, dass ich Bradel richtig verstanden habe. Ich habe jedoch jetzt rausgelesen, dass für genau n erfolgreiche Würfel eine Binomialverteilung angenommen werden kann, über die man dann nur noch korrekt summieren muss, damit man die Wahrscheinlichkeit für genau n oder mehr als n erfolgreiche Würfel bekommt.

      Die Formal auf die ich gekommen bin ist damit dann

      F(d|a,e) = \sum_{j=d+1}^{d+a} (a+d choose j) (1-(e-1)/s)^j ((e-1)/s)^(a+d-j)

      mit
      d ist Erschwernis
      a ist Eigenschaftswert
      e ist Mindestwurf für einen Erfolg
      s ist Anzahl der Würfelseiten
      Weltraumschlangen! :fluecht:
    • Oh, der Thread ist mir entgangen, sonst hätt ich da schon früher drauf geantwortet - ist aber andererseits auch nicht so schlimm, denn mit der Stochastik-Umsetzung kann ich dir eh nicht groß weiterhelfen (hey, DU hast doch mal Mathematik studiert; ich bin bloß Ingenieur der Mathe nur auf Planschbecken-Niveau braucht ;D ).

      Daher jetzt erstmal ein paar Gedanken dazu, ohne diese in Formeln gießen zu können. ;)

      Weltraumschlange schrieb:

      Der Ablauf einer Probe ohne Erschwernis
      Eine Probe wird grundsätzlich auf einen Eigenschaftswert abgelegt. Für jeden Punkt in der entsprechenden Eigenschaft wird ein Würfel geworfen, wenn also auf Stärke gewürfelt wird und der entsprechende Charakter eine Stärke von 5 hat, werden 5 Würfel geworfen.
      Nun wird der höchste Würfel als das Ergebnis genommen, das wie auch immer nun als Erfolg oder Misserfolg gewertet werden kann. In Hochhäuser muss dieser Wert größer als die aktuelle Verwundung sein, in einem TableTop-Spiel, das ich gerade bastel, wird zum Beispiel bei einem Geschwindigkeitswurf der oberste Würfel direkt als die zurückgelegte Entfernung interpretiert.

      Da du von Tabletop-Spiel sprichst, gehe ich davon aus, dass dieses System auch tatsächlich mit Hardware-Würfeln in der Hand benutzt werden soll - d.h. 1. die Eigenschaftswerte (oder wie auch immer man sie nennt) sollten in einem handhabbaren Bereich bleiben (auch wenn das System prinzipiell beliebig hohe Werte gestattet) und 2. die Würfel sind wohl auf die handelsüblichen W6, W10, W20 usw. beschränkt (solange man nicht anfängt, einzelne Würfelseiten als ungültig zu erklären, um sich z.B. einen W5 zu generieren).

      Vor allem der erste Punkt spricht dafür, dass relativ niedrige Eigenschaftswerte (so 1-4) durchaus relevant sind bzw. häufig auftreten können. Gerade zwischen 1, 2 und 3 würde ich allerdings erwarten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung erhebliche Sprünge vollführt - mit Wert 1 ist es ja ne ganz poplige Linearverteilung (solange noch keine Erschwernisse im Spiel sind), mit Wert 2 verbiegt es sich schon sehr erheblich. Grade dieser erste (größte) Sprung ist etwas unschön - ggf. muss man halt einfach Werte von 1 vermeiden.

      Mit mehr Würfeln (insbesondere bei Würfeln mit wenig Seiten wie W6) wird sich der das Ergebnis sehr schnell an das Maximum annähern - wie schnell und wie stark wird dir deine Stochastik-Akrobatik zeigen ;) aber allein schon dein tabellarisches Beispiel mit 2W6 suggeriert mir das schon recht stark. Da müsstest du dann ausloten, welche Wertebereiche und welche Würfelseitenzahl du verwenden willst, je nachdem, wie groß die Varianz bei Proben in deinen Augen sein sollte.

      Apropos, triviale Feststellung: Das System erlaubt auch mit miesem Wert von 1, dass man trotzdem das bestmögliche Wurfergebnis erreichen kann, eben mit [1/s]*100% Wahrscheinlichkeit. Ich schätze das stört dich nicht, aber ich dachte ich sag's nochmal explizit. ;D

      Erschwernis
      Erschwernis wird erreicht indem so viele Würfel wie als Erschwernis angegeben zum Würfelpool hinzugefügt werden und dann nach dem Wurf entsprechend wieder entfernt.
      Also, wenn die Erschwernis 3 ist und die Stärke 5, würfelt der Spieler 8 Würfel. Er entfernt dann die 3 höchsten Würfel bevor der übrige höchste Würfel dann das Ergebnis anzeigt, bzw. die 3 niedrigsten, wenn nach dem niedrigsten Würfel gefragt ist.

      Ich muss sagen, das Prinzip find ich ziemlich cool. :)

      Jetzt wo du die Formel dafür in der Hand hast: Hast du Mathematica oder ein ähnliches Programm, mit dem du mal ein paar Kurvendiagramme generieren könntest (z.B. die Wahrscheinlichkeit, eine Probe mit Eigenschaftswert 6 und Zielwert 5 zu schaffen, abhängig von der Erschwerung)? Würde mich mal interessieren.

      Ansonsten, naheliegende Frage: Hast du auch ein Konzept für Probenerleichterungen, oder gibt's nur erschwerte Proben? (Erleichterung könnte man natürlich mit Extra-Würfeln machen, ohne dass man hinterher wieder welche abzieht, aber das ist natürlich nicht das gleiche.)
    • (hey, DU hast doch mal Mathematik studiert; ich bin bloß Ingenieur der Mathe nur auf Planschbecken-Niveau braucht ;D )

      Heh, das ist natürlich wahr, aber andererseits hab ich das ja vor 5 Jahren abgebrochen, seitdem nicht mehr vernünftig Mathe gemacht und dann auch noch von Stochastik nur etwa ein halbes Semester mitbekommen.


      Ja, unerschwerte Würfe werde sehr schnell sehr einfach. Das hat mich anfangs ein wenig verunsichert, aber jetzt halte ich das für ein Feature, nicht für ein Problem. Nach meiner Erfahrung (die Berechnungen hab ich noch nicht gemacht :pfeif: ) erhöhen höhere Werte hauptsächlich die, uhm, Resistenz gegen Erschwernisse. Mit niedrigen Werten führt eine höhere Erschwernis schnell zum Einbrechen der Erfolgswahrscheinlichkeit, bei höheren Werten lässt sich das leichter aushalten. Was dann in der Konsequenz bedeutet, dass Erschwernisse eine viel höhere Bedeutung haben als anderswo, da sie den größten Unterschied zwischen Anfängern und Profis machen.

      Jetzt wo du die Formel dafür in der Hand hast: Hast du Mathematica oder ein ähnliches Programm, mit dem du mal ein paar Kurvendiagramme generieren könntest (z.B. die Wahrscheinlichkeit, eine Probe mit Eigenschaftswert 6 und Zielwert 5 zu schaffen, abhängig von der Erschwerung)? Würde mich mal interessieren.

      Ich hab mir mal wxMaxima installiert und mich weit genug eingearbeitet, um da mal ein paar Bilder zu machen.

      Hier die Wahrscheinlichkeiten bei festgelegten Mindestwerten:


      Und hier wenn die Schwierigkeit festgelegt ist:


      Und mit festgelegter Fähigkeit (die ich leider nicht vernünftig hindrehen kann, da wxplot3d von wxMaxima nur den Azimuth als Parameter entgegen nimmt, nicht aber eine Drehung um die vertikale Achse):


      Was ich daraus ablesen kann: Höhere Fertigkeiten bringen schon viel, jedoch nur, wenn entweder eine erhöhte Schwierigkeit oder eine erhöhter Mindestwurf gefordert ist 8letzteres entspricht in Hochhäuser starken Verletzungen). Wenn beides zusammen kommt, ist der Fertigkeitswert eigentlich egal, zumindest bei extremen Erschwernissen. Außerdem scheint meine Intuition respektive Erschwernissen richtig zu sein.
      Weltraumschlangen! :fluecht: